La Raíz Cuadrada

¿Qué es la raíz cuadrada?

¿Cómo se calcula?

La raíz cuadrada
¿Qué es una raíz cuadrada?

Calcular una raíz cuadrada es la operación opuesta de cuadrar un número, es decir, de calcular la potencia de un número al cuadrado.
Se nota la raíz cuadrada de un número x así: √x.
Para hallar el cuadrado (cuadrar) un número natural se simplemente multiplica el número por si mismo. O sea, se eleva a la segunda potencia: 7 × 7 = 7² = 49.
Y la raíz cuadrada es el opuesto de eso.

Por ejemplo (si sólo hallamos las raices positivas):

√16 = 4 ya que 4 × 4 = 16.

√36 = 6 ya que 6 × 6 = 36.

√100 = 10 ya que 10 × 10 = 100.

√10,000 = 100 ya que 100 × 100 = 10,000.

√0.01 = 0.1 ya que 0.1 × 0.1 = 0.01.

√1/4 = 1/2 ya que 1/2 × 1/2 = 1/4.

La raíz cuadrada y el cuadrado

Hay una conexión simple entre estos conceptos.
Cuadrar un número n (hallar su raíz cuadrada) significa hallar el área de un cuadrado cuyo lado es este número n. Y, calcular la raíz cuadrada de un número x es lo opuesto: hallar el lado de un cuadrado cuando la área es el número x.


Mira los ejemplos:
Cuadrar el número 9
Raíz cuadrada del número 9
Area = 9²
lado = 9
Area = 81
lado = √81 = 9

¿Cómo se la calcula?

1) La calculadora tiene un botón para la raíz cuadrada. Se usa antes o después de poner el número, depende de la calculadora.

Nota que cuando su calculadora le da por ejemplo que √6 = 2.449489742783178098197284074706 (o con menos cifras decimales), este no significa que la raíz es exactamente este número. En realidad, si la raíz no es un número natural, es un número irracional, y tiene representación decimal que nunca termina y nunca tiene ningún período en sus cifras decimales. El calculadora sólo le da una aproximación con tantas cifras que caben en su pantalla.

2) El método de "estimar y probar". Por ejemplo, para hallar √17. Primero se halla dos números naturales entre quienes es la raíz. En caso de √17, el resultado es entre 4 y 5 ya que √16 es 4 y √25 es 5.


Entonces se estima la primera cifra decimal del resultado. Ya que 17 es muy cerca de 16, voy a estimar que √17 es aproximadamente 4.1.

Entonces se lo prueba por elevando la estimación a segunda potencia: 4.1 × 4.1 = 16.81, o menos de 17. Entonces 4.1 no es suficiente grande, y voy a probar 4.15.

4.15 × 4.15 = 17.2225 - es demasiado. Ya sé que 17 debe ser entre 4.1 y 4.15. Voy a probar 4.125:

4.1252 = 17.015625 - es un poquito demasiado. Entonces el resultado es entre 4.1 y 4.125. ¿A lo mejor 4.115?

4.1252 = 16.933225. Entonces el resultado es entre 4.115 y 4.125. ¿A lo mejor 4.117?

4.1172 = 16.949689. Entonces el resultado es entre 4.117 y 4.125. ¿A lo mejor 4.121?

4.1212 = 16.982641. Entonces el resultado es entre 4.121 y 4.125. ¿A lo mejor 4.123?

4.1232 = 16.999129. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.125. ¿A lo mejor 4.124?

4.1242 = 17.007376. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.124. ¿A lo mejor 4.1235?

4.12352 = 17.00325225. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.1235. ¿A lo mejor 4.1233?

Y etcetera.


3) Algoritmo babilónico.

En este, se usa el promedio y la división así:

Primero halla una aproximación de la raíz que se quiere encontrar.

Entonces divide el número cuyo raíz se quiere encontrar con la aproximacion. Entonces calcula el promedio de estos dos resultados - y éste será su nueva aproximación para la raíz.

Por ejemplo:

Hallar √44. La aproximación inicial puede ser 7.


Dividimos 44 por éste: 44/7 = 6.285714.

Hallamos el promedio de 7 y 6.285714: (7 + 6.285714)/2 = 6.642857.


Este promedio 6.642857 es la aproximación de 44 que obtenemos en este primero paso.


En el segundo paso dividimos 44 por 6.642857: 44/6.642857 = 6.623656. Y hallamos el promedio: (6.642857 + 6.623656)/2 = 6.6332565.


En el tercer paso dividimos 44 por 6.6332565: 44/6.6332565 = 6.633242. Y hallamos el promedio: (6.6332565 + 6.633242)/2 = 6.63324925.

Etcetera.

(fuente de los conceptos teóricos)

Ejercicios / problemas

Calcula las siguientes raíces cuadradas:

1a.	√25	1b.	√16	1c.	√225
2a.	√144	2b.	√196	2c.	√36
3a.	√9	3b.	√100	3c.	√0
4a.	√1	4b.	√81	4c.	√121
5a.	√4	5b.	√49	5c.	√169

 Problemas con raíces cuadradas:

1. Una caja de base cuadrada de 848 cm²; ¿cuánto mide de lado?
2. ¿Qué perímetro tiene un cuadrado de 289 m²?
   
3. Camilo ha comprado un terreno de forma aproximadamente cuadrada, mide 169 m² y quiere rodearlo con 3 vueltas de alambre. ¿Cuántos metros necesitará comprar aproximadamente?
4. Una fuente cuadrada  de 12,25 m² va a ser reformada y se le colocará un borde de azulejos de colores a su alrededor, cada azulejo es un cuadrado de 10cm de lado. Determina lo más aproximado posible la cantidad de azulejos qué se necesitarán