Juegos de Numeración

Juegos de numeración para niños de 3 a 5 años

Aprende a contar	Carrera de Caballitos	Cuenta Animales	Cuenta hasta 5
Pesca	Contando con regletas	El hormiguero	La invasión de los gusanos
El gallinero	Los cabritos	Contando peces	El estanque

Une los puntos para formar un dibujo

Tres juegos para unir los puntos.

Método de multiplicación Chino

En el libro "Secretos de un Calculista" de Enrique Ortega Salinas el autor presenta un método de multiplicación milenario chino. El procedimiento es muy sencillo y es una curiosa alternativa al procedimiento  tradicional.
Para la explicación del mismo mostraremos un ejemplo multiplicacando 18x20

Pasos de la multiplicación china

1. Hacer dos columnas y en cada una escribir un factor

 2. En la primer columna dividir el número entre 2 sucesivamente hasta llegar a 1. En caso de que el número a dividir sea impar primeramente sumar uno y luego dividir entre dos. Asi por ejemplo en la primer columna debajo escribiremos 9, porque 18 dividido 2 = 9, luego como 9 es impar le sumaremos 1 para dividir 10 entre 2 y nos dara 5 y así seguiremos.

 

3.  En la segunda columna multiplicar el factor por 2 sucesivamente. Así  en el ejemplo tendremos 20 x 2= 40, 40 x 2= 80, 80 x 2=160, 160 x 2= 320 y 320 x 2= 640

 

4. Luego de realizar los pasos anteriores sumarle a 20 todos los números de la segunda columna que en la primera sean par. En otras palabras buscar los números pares de la primera y sumar los números que le corresponden en la segunda. Así en el ejemplo nos quedaremos con la fila del 18 y el 2 por lo tanto le sumaremos a 20, 320 y 20

 

5 Entonces 20 + 20 + 320 = 360  y efectivamente 18 x 20 es 360

El Sistema Sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

1 h 60 min 60 s

1º 60' 60''

Operaciones en el sistema sexagesimal

Suma

1^er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2^o paso

Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

3^er paso

Se hace lo mismo para los minutos.

Resta

1^er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2^o paso

Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3^er paso

Hacemos lo mismo con los minutos.

Multiplicación por un número

1^er paso

Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número.

2^o paso

Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3^er paso ·

Se hace lo mismo para los minutos.

División por un número

Dividir 37º 48' 25'' entre 5

1^er paso

Se dividen las horas (o grados) entre el número.

2^o paso

El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

3^er paso ·

Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

4^o paso

Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

Fuente Original www.vitutor.com

También les dejo una aplicación online:

Convertir decimales en fracciones

¿Cómo convertir decimales en facciones?¿Todos los decimales pueden tener una expresión fraccionaria (quebrada)?

Convertir números decimales en fracciones

Convertir números decimales en fracciones es muy simple siempre y cuando el decimal es finito, es decir termina, porque ¡todos los números decimales finitos SON fracciones por su definición! Tienen un denominador de 10, 100, 1000, 10 000 etc.

Si el número decimal tiene UN dígito decimal, el denominador es 10.
Si tiene dos dígitos decimales, el denominador es 100.
Si tiene tres dígitos decimales, el denominador es 1000.
Si tiene cuatro dígitos decimales, el denominador es 10000.
Y así en adelante. Si tiene n dígitos decimales, el denominador es 10n.

El numerador es su "número original" sin el punto decimal.

Por ejemplo:

0.5 es 5/10

0.9 es 9/10

0.42 es 42/100

4.32 es 432/100

5.008 es 5008/1000

34.50396 es 3450396/100000

Por supuesto, a veces es posible simplificar la fraccion que se consigue. Por ejemplo, 0.5 es 5/10 pero se la puede simplificar a 1/2.

¿Y qué si el decimal no termina?

Hay dos casos:

1. El decimal es periódico. Esta conversión es un poco más complicada. Tomamos por ejemplo el decimal x = 2.1414141414... o también se escribe x = 2.14.

Multiplicamos este decimal por 10 tantas veces que el decimal resultante tiene un periodo que "corresponde" con 0.14141414.... para que podamos restar las dos "colas":

10x = 21.414141414... (este no sirve)
100x = 214.14141414... (este sirve)

Ahora podemos restar x de 100x y las "colas" de decimales se anulan:
100x = 214.14141414...
x = 2.14141414...
99x = 212

x = 212/99 y esa es la fracción que necesitamos.

Otro ejemplo: convertimos x = 0.55619619619619... o x = 0.55619 en una fracción. Otra vez lo multiplicamos por 10 tantas veces que el decimal resultante tiene un periodo que "corresponde" con la cola 619619.... para que podamos restar las dos "colas". Se necesita observar cuidadosamente cuando lo pasa.

x = 0.55619619619619...
10x = 5.5619619619619... (este no sirve)
100x = 55.619619619619... (este no sirve)
1000x = 556.19619619619... (este sí sirve porque el per&ieacute;odo 619 comienza después de dos cifras decimales.)

Ahora podemos restar x de 1000x y las "colas" de decimales se anulan:
1000x = 556.19619619619...
x = 0.55619619619619...
999x = 555.64

x = 555.64/999, pero necesitamos hacer algo para eliminar el punto decimal.

Véase tambíen Un decimal infinito al transformarlo a fracción........? y Transformar decimal a fraccion de ProfesorEnLinea.
2. El decimal no es periódico. Entonces es un número irracional y no se puede expresar como una fracción.

Material extraido de Mamut Matemáticas

La Raíz Cuadrada

¿Qué es la raíz cuadrada?

¿Cómo se calcula?

La raíz cuadrada
¿Qué es una raíz cuadrada?

Calcular una raíz cuadrada es la operación opuesta de cuadrar un número, es decir, de calcular la potencia de un número al cuadrado.
Se nota la raíz cuadrada de un número x así: √x.
Para hallar el cuadrado (cuadrar) un número natural se simplemente multiplica el número por si mismo. O sea, se eleva a la segunda potencia: 7 × 7 = 7² = 49.
Y la raíz cuadrada es el opuesto de eso.

Por ejemplo (si sólo hallamos las raices positivas):

√16 = 4 ya que 4 × 4 = 16.

√36 = 6 ya que 6 × 6 = 36.

√100 = 10 ya que 10 × 10 = 100.

√10,000 = 100 ya que 100 × 100 = 10,000.

√0.01 = 0.1 ya que 0.1 × 0.1 = 0.01.

√1/4 = 1/2 ya que 1/2 × 1/2 = 1/4.

La raíz cuadrada y el cuadrado

Hay una conexión simple entre estos conceptos.
Cuadrar un número n (hallar su raíz cuadrada) significa hallar el área de un cuadrado cuyo lado es este número n. Y, calcular la raíz cuadrada de un número x es lo opuesto: hallar el lado de un cuadrado cuando la área es el número x.


Mira los ejemplos:
Cuadrar el número 9
Raíz cuadrada del número 9
Area = 9²
lado = 9
Area = 81
lado = √81 = 9

¿Cómo se la calcula?

1) La calculadora tiene un botón para la raíz cuadrada. Se usa antes o después de poner el número, depende de la calculadora.

Nota que cuando su calculadora le da por ejemplo que √6 = 2.449489742783178098197284074706 (o con menos cifras decimales), este no significa que la raíz es exactamente este número. En realidad, si la raíz no es un número natural, es un número irracional, y tiene representación decimal que nunca termina y nunca tiene ningún período en sus cifras decimales. El calculadora sólo le da una aproximación con tantas cifras que caben en su pantalla.

2) El método de "estimar y probar". Por ejemplo, para hallar √17. Primero se halla dos números naturales entre quienes es la raíz. En caso de √17, el resultado es entre 4 y 5 ya que √16 es 4 y √25 es 5.


Entonces se estima la primera cifra decimal del resultado. Ya que 17 es muy cerca de 16, voy a estimar que √17 es aproximadamente 4.1.

Entonces se lo prueba por elevando la estimación a segunda potencia: 4.1 × 4.1 = 16.81, o menos de 17. Entonces 4.1 no es suficiente grande, y voy a probar 4.15.

4.15 × 4.15 = 17.2225 - es demasiado. Ya sé que 17 debe ser entre 4.1 y 4.15. Voy a probar 4.125:

4.1252 = 17.015625 - es un poquito demasiado. Entonces el resultado es entre 4.1 y 4.125. ¿A lo mejor 4.115?

4.1252 = 16.933225. Entonces el resultado es entre 4.115 y 4.125. ¿A lo mejor 4.117?

4.1172 = 16.949689. Entonces el resultado es entre 4.117 y 4.125. ¿A lo mejor 4.121?

4.1212 = 16.982641. Entonces el resultado es entre 4.121 y 4.125. ¿A lo mejor 4.123?

4.1232 = 16.999129. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.125. ¿A lo mejor 4.124?

4.1242 = 17.007376. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.124. ¿A lo mejor 4.1235?

4.12352 = 17.00325225. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.1235. ¿A lo mejor 4.1233?

Y etcetera.


3) Algoritmo babilónico.

En este, se usa el promedio y la división así:

Primero halla una aproximación de la raíz que se quiere encontrar.

Entonces divide el número cuyo raíz se quiere encontrar con la aproximacion. Entonces calcula el promedio de estos dos resultados - y éste será su nueva aproximación para la raíz.

Por ejemplo:

Hallar √44. La aproximación inicial puede ser 7.


Dividimos 44 por éste: 44/7 = 6.285714.

Hallamos el promedio de 7 y 6.285714: (7 + 6.285714)/2 = 6.642857.


Este promedio 6.642857 es la aproximación de 44 que obtenemos en este primero paso.


En el segundo paso dividimos 44 por 6.642857: 44/6.642857 = 6.623656. Y hallamos el promedio: (6.642857 + 6.623656)/2 = 6.6332565.


En el tercer paso dividimos 44 por 6.6332565: 44/6.6332565 = 6.633242. Y hallamos el promedio: (6.6332565 + 6.633242)/2 = 6.63324925.

Etcetera.

(fuente de los conceptos teóricos)

Ejercicios / problemas

Calcula las siguientes raíces cuadradas:

1a.	√25	1b.	√16	1c.	√225
2a.	√144	2b.	√196	2c.	√36
3a.	√9	3b.	√100	3c.	√0
4a.	√1	4b.	√81	4c.	√121
5a.	√4	5b.	√49	5c.	√169

 Problemas con raíces cuadradas:

1. Una caja de base cuadrada de 848 cm²; ¿cuánto mide de lado?
2. ¿Qué perímetro tiene un cuadrado de 289 m²?
   
3. Camilo ha comprado un terreno de forma aproximadamente cuadrada, mide 169 m² y quiere rodearlo con 3 vueltas de alambre. ¿Cuántos metros necesitará comprar aproximadamente?
4. Una fuente cuadrada  de 12,25 m² va a ser reformada y se le colocará un borde de azulejos de colores a su alrededor, cada azulejo es un cuadrado de 10cm de lado. Determina lo más aproximado posible la cantidad de azulejos qué se necesitarán
   

Batería de situaciones problema para el tercer nivel listas para imprimir

Todo tipo de problemas matemáticos en formato PDF listos para imprimir y ser aplicados

Situaciones Problema 22 páginas (con las soluciones)
Resolución de Problemas de José Heber Nieto Said, Problemas y marco teórico-didáctico
Ejercicios de matemáticas primaria PDF
Más ejecicios para primaria PDF
Escrito para 6 año de matemáticas PDF
Fichas de matemáticas para 1º año PDF

Los Números Romanos

Cómo formar números romanos

La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores:

I=1
V=5
X=10
L=50
C=100
D=500
M=1000

Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.

Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67

La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.

Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900
En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.

Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34

La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque hay otras letras "X", "C", "M" que representan su valor duplicado.

Ejemplos: X (no VV) = 10 ; C (no LL) = 100 ; M (no DD) = 1.000

Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.

Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129

El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.

Probabilidad expresada en: fracción, porcentaje y odds

La fracción como expresión de una probabilidad

Empecemos por el principio: Definamos el concepto de probabilidad

La probabilidad es la ciencia que estudia el número de veces que se producirá un evento probable sometido al azar, tomando como muestra un número determinado de intentos.
Es decir la probabilidad expresa de manera matemática la “posibilidad de que algo ocurra”
Esta expresión puede utilizar distintas formas para representarse gráficamente. De la misma forma que podemos representar una división usando ½ ó 1:2, podemos plasmar la probabilidad con tres formatos fundamentales:

• El tanto por ciento ( X % )
• La fracción (1/X)
• Las odds (X:X)

Todas ellas nos muestran el número de veces que ocurrirá un suceso en X intentos. Vamos por partes:

• El % indica el número de veces que se producirá una acción a lo largo de 100 intentos.
• La fracción, siempre se simplifica hasta que el numerador sea 1 para representar que 1 vez de x se produce un caso, siendo x el denominador de la fracción.
• Las odds son una forma de expresión que representa la probabilidad separando los casos a favor de los casos en contra con dos puntos. Es decir X veces pasará: X veces no pasará. Cuando se sitúa en primer lugar los casos en contra se conocen como odds underdog.

Veamos un par de ejemplos:

EJEMPLO 1:
Tenemos un garaje lleno de coches con un total de 20 vehículos. De esos 20 vehículos uno es rojo. Nos colocamos en la puerta y empiezan a salir coches. ¿Cual es la probabilidad de que salga el coche rojo?
Empecemos por las odds ya que es la fórmula más intuitiva de expresión. Si hay un total de 20 coches y sólo 1 rojo, 19 coches No son rojos. El vehículo que buscamos saldrá 1 vez por cada 19 veces que salgan coches de otro color. 1:19 sería la expresión en odds.
¡Alto! Esto no es real, el coche rojo puede estar meses en el garaje y que salgan cien coches de otro tipo antes. Cierto, pero calculamos la probabilidad de que se produzca un suceso, no el orden en que se cumplirá esa probabilidad. El coche rojo podría salir 10 veces seguidas o no salir en meses, eso no altera la probabilidad. A la larga, cuanto más tiempo permanezcamos a la puerta del garaje, más próximo a la realidad será nuestro cálculo.
Sigamos. Tenemos que la probabilidad en odds es 1:19 (expresada en underdog sería 19:1) ¿Cómo podemos averiguar ese mismo valor expresado mediante fracciones?
En las fracciones habíamos dicho que siendo 1 el numerador, expresa el suceso para el que queremos conocer la probabilidad; y el denominador el número total de intentos. De manera que, tomando la expresión en odds sólo debemos calcular los casos totales y representar 1/ casos totales. Si nuestras odds son 1:19, ( una vez si sale el coche rojo: 19 veces no sale), tenemos un total de 20 intentos. La fracción resultante sería 1/20. Una de cada 20 veces saldrá nuestro coche.
Para hallar el % debemos conseguir una expresión que nos indique cuantas veces se repetirá el suceso en una muestra de 100 casos. Es decir buscamos la fracción X/100 o lo que es lo mismo X de 100. Para conseguirlo emplearemos una propiedad de las fracciones que indica que: si se multiplica numerador y denominador por el mismo número la fracción resultante es equivalente a la actual (la vuelta al cole, aquí tengo que agradecer a mi mamá el repaso) Necesitamos un número que multiplicado por el denominador nos de 100; para hallarlo dividimos 100 entre el denominador y obtendremos el número deseado. Sólo nos falta multiplicar la fracción por ese número y conseguiremos nuestra fracción equivalente y en definitiva el %. Veamos:
Fracción: 1/20
100/20 = 5
1/20 x 5/5 = 5/100 = 5%
Con esto podemos asumir que las probabilidades de que salga el coche rojo son:

Odds – 1:19

Odds Underdog – 19:1

Fracción – 1/20

Tanto por ciento – 5%

Todos estos valores reflejan la misma probabilidad y pueden ser utilizados indistintamente para valorar las veces que el suceso se producirá, no obstante, como veremos en próximos artículos algunos de estos sistemas se adaptan mejor al poker que otros.

EJEMPLO 2:
Si buscamos otro ejemplo en el mundo del poker podemos empezar a aplicar estos principios básicos de probabilidad a nuestro juego.
Supongamos que tienes un 7d y un 6h. Estas en la ciega grande, un par de jugadores hacen call y tú haces check para ver el flop. Sobre la mesa aparecen 5s 8d Kh.
Olvidemos por el momento el tamaño de las apuestas, del bote, de los stacks, e incluso de las ciegas, para centrarnos en el cálculo de la probabilidad de que nuestra jugada mejore. Para ello debemos contar las cartas que nos pueden ayudar a completar la escalera y compararlas con las cartas que no nos ayudan (outs) empleando las expresiones que hemos explicado anteriormente.
En este contexto todos los 4 y todos los 9 nos dan escalera, en total hay 8 cartas que nos sirven (cuatro 4 y cuatro 9, uno por cada palo). La baraja tiene 52 cartas a las que debemos restar las tres que hay en la mesa y las dos que nos han repartido (para este cálculo no tenemos en cuenta las cartas de los demás jugadores). 52 - 3 - 2 = 47 es el número total de cartas que quedan en el mazo para repartir. Entre esas 47 hay 8 cartas que nos sirven y 39 que no completan nuestra jugada. En este punto podemos empezar a construir nuestra expresión:

• 8 veces completamos : 39 veces no completamos. Para simplificar dividimos entre 8, el resultado es 1: 4,87, o lo que es lo mismo una de cada 4,87 veces mejoraremos nuestra mano.
• Si tomamos 1:4,87 para hallar la fracción no tenemos más que sumar uno al denominador para que la expresión refleje “uno de cada 5,87 casos mejoraremos”, es decir: 1/5,87
• Para pasar la fracción 1/5,87 a tantos por ciento usamos la misma fórmula que en el ejemplo anterior:

100 / 5.87 = 17.03
1 / 5.87 X 17.03 / 17.03 = 17.03 / 100 = 17.03 %
El resultado es que nuestra probabilidad de mejorar será:

Odds – 1:4,87

Odds Underdog – 4,87:1

Fracción – 1/5,87

Tanto por ciento – 17,03%

Las relaciones de proporcionalidad directa e inversa.

Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón.

RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA

 

Razón entre dos números

Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.

Entonces:

Razón entre dos números a y b es el cociente entre

Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que

Y la razón entre los números 0,15  y  0,3  es

Proporción numérica

Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica

Entonces:

Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Es decir
Se lee “a es a b como c es a d”

Los números 2,  5  y  8,  20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.

Es decir

En la proporción

hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

Así, en la proporción anterior

 se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40

En general	a	=	c	==»	a . d = b . c
	b		d

Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:

Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.

Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.

Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

Ejemplo

Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de papas  pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?

Número de sacos	1	2	3	...	26	...
Peso en kg	20	40	60	...	520	...

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20

Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

Observa que

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.

 Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Ejemplo 1

En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?

Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:

Litros de agua	50	x
Gramos de sal	1.300	5.200

Se verifica la proporción:

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:

50 por 5.200 = 1.300 por x

Es decir

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

Ejemplo 2

Un automóvil  gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.

Ejemplo

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto,  las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales).

Formamos la tabla:

Hombres	3	6	9	...	18
Días	24	12	8	...	?

Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72

Por tanto 18 por x = 72

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)

Ejemplo 1

Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.

X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas	220	450
Nº de días	45	x

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa.

Ejemplo 2

Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?

Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x

Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES

Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad

Ejemplo 1: Proporcionalidad directa

Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de campamento?

§         Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales.
§         El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado son directamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la cantidad desconocida, gasto.

SABEMOS QUE		pesos
REDUCCIÓN A LA UNIDAD		pesos
		pesos
		pesos
BÚSQUEDA DEL RESULTADO		pesos

Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa

15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

§         Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
§         Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.

SABEMOS QUE
REDUCCIÓN A LA UNIDAD
BÚSQUEDA DEL RESULTADO

Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33,75 días.

Este texto está extraído de los libros de la Editorial SM de 1º y 2º de ESO, EspañaFuente de la información: profesor en línea

Información más amplia y completa sobre proporcionalidad y su representación gráfica al pinchar aquí