Ejercicios para practicar divisiones y multiplicaciones

Aquí dejo algunos ejercicios listos para imprimir y practicar de un modo diferente las técnicas operatorias de la división y la multiplicación

TuxMath juego para practicar operaciones aritméticas

TuxMath es un juego educativo que permite la práctica de operaciones aritméticas sencillas de suma, resta, multiplicación y división.

El juego es una especie de SpaceInvaders en el que los alienígenas han sido sustituidos por meteoros que van acompañados de un cálculo matemático que debe ser resuelto antes de tocar el suelo.

Tux, la mascota del sistema operativo Linux, es el protagonista y controla un rayo láser que es capaz de destruir las enormes bolas de fuego, pero para ello es necesario responder de forma correcta la operación.

Al principio parece fácil, pero TuxMath se complica cuando comienzan a aparecer números negativos y cálculos con incognitas.

Muy divertido y didáctivo, TuxMath es una aplicación ideal para fomentar el aprendizaje del cálculo numérico.

Método de multiplicación Chino

En el libro "Secretos de un Calculista" de Enrique Ortega Salinas el autor presenta un método de multiplicación milenario chino. El procedimiento es muy sencillo y es una curiosa alternativa al procedimiento  tradicional.
Para la explicación del mismo mostraremos un ejemplo multiplicacando 18x20

Pasos de la multiplicación china

1. Hacer dos columnas y en cada una escribir un factor

 2. En la primer columna dividir el número entre 2 sucesivamente hasta llegar a 1. En caso de que el número a dividir sea impar primeramente sumar uno y luego dividir entre dos. Asi por ejemplo en la primer columna debajo escribiremos 9, porque 18 dividido 2 = 9, luego como 9 es impar le sumaremos 1 para dividir 10 entre 2 y nos dara 5 y así seguiremos.

 

3.  En la segunda columna multiplicar el factor por 2 sucesivamente. Así  en el ejemplo tendremos 20 x 2= 40, 40 x 2= 80, 80 x 2=160, 160 x 2= 320 y 320 x 2= 640

 

4. Luego de realizar los pasos anteriores sumarle a 20 todos los números de la segunda columna que en la primera sean par. En otras palabras buscar los números pares de la primera y sumar los números que le corresponden en la segunda. Así en el ejemplo nos quedaremos con la fila del 18 y el 2 por lo tanto le sumaremos a 20, 320 y 20

 

5 Entonces 20 + 20 + 320 = 360  y efectivamente 18 x 20 es 360

La Raíz Cuadrada

¿Qué es la raíz cuadrada?

¿Cómo se calcula?

La raíz cuadrada
¿Qué es una raíz cuadrada?

Calcular una raíz cuadrada es la operación opuesta de cuadrar un número, es decir, de calcular la potencia de un número al cuadrado.
Se nota la raíz cuadrada de un número x así: √x.
Para hallar el cuadrado (cuadrar) un número natural se simplemente multiplica el número por si mismo. O sea, se eleva a la segunda potencia: 7 × 7 = 7² = 49.
Y la raíz cuadrada es el opuesto de eso.

Por ejemplo (si sólo hallamos las raices positivas):

√16 = 4 ya que 4 × 4 = 16.

√36 = 6 ya que 6 × 6 = 36.

√100 = 10 ya que 10 × 10 = 100.

√10,000 = 100 ya que 100 × 100 = 10,000.

√0.01 = 0.1 ya que 0.1 × 0.1 = 0.01.

√1/4 = 1/2 ya que 1/2 × 1/2 = 1/4.

La raíz cuadrada y el cuadrado

Hay una conexión simple entre estos conceptos.
Cuadrar un número n (hallar su raíz cuadrada) significa hallar el área de un cuadrado cuyo lado es este número n. Y, calcular la raíz cuadrada de un número x es lo opuesto: hallar el lado de un cuadrado cuando la área es el número x.


Mira los ejemplos:
Cuadrar el número 9
Raíz cuadrada del número 9
Area = 9²
lado = 9
Area = 81
lado = √81 = 9

¿Cómo se la calcula?

1) La calculadora tiene un botón para la raíz cuadrada. Se usa antes o después de poner el número, depende de la calculadora.

Nota que cuando su calculadora le da por ejemplo que √6 = 2.449489742783178098197284074706 (o con menos cifras decimales), este no significa que la raíz es exactamente este número. En realidad, si la raíz no es un número natural, es un número irracional, y tiene representación decimal que nunca termina y nunca tiene ningún período en sus cifras decimales. El calculadora sólo le da una aproximación con tantas cifras que caben en su pantalla.

2) El método de "estimar y probar". Por ejemplo, para hallar √17. Primero se halla dos números naturales entre quienes es la raíz. En caso de √17, el resultado es entre 4 y 5 ya que √16 es 4 y √25 es 5.


Entonces se estima la primera cifra decimal del resultado. Ya que 17 es muy cerca de 16, voy a estimar que √17 es aproximadamente 4.1.

Entonces se lo prueba por elevando la estimación a segunda potencia: 4.1 × 4.1 = 16.81, o menos de 17. Entonces 4.1 no es suficiente grande, y voy a probar 4.15.

4.15 × 4.15 = 17.2225 - es demasiado. Ya sé que 17 debe ser entre 4.1 y 4.15. Voy a probar 4.125:

4.1252 = 17.015625 - es un poquito demasiado. Entonces el resultado es entre 4.1 y 4.125. ¿A lo mejor 4.115?

4.1252 = 16.933225. Entonces el resultado es entre 4.115 y 4.125. ¿A lo mejor 4.117?

4.1172 = 16.949689. Entonces el resultado es entre 4.117 y 4.125. ¿A lo mejor 4.121?

4.1212 = 16.982641. Entonces el resultado es entre 4.121 y 4.125. ¿A lo mejor 4.123?

4.1232 = 16.999129. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.125. ¿A lo mejor 4.124?

4.1242 = 17.007376. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.124. ¿A lo mejor 4.1235?

4.12352 = 17.00325225. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.1235. ¿A lo mejor 4.1233?

Y etcetera.


3) Algoritmo babilónico.

En este, se usa el promedio y la división así:

Primero halla una aproximación de la raíz que se quiere encontrar.

Entonces divide el número cuyo raíz se quiere encontrar con la aproximacion. Entonces calcula el promedio de estos dos resultados - y éste será su nueva aproximación para la raíz.

Por ejemplo:

Hallar √44. La aproximación inicial puede ser 7.


Dividimos 44 por éste: 44/7 = 6.285714.

Hallamos el promedio de 7 y 6.285714: (7 + 6.285714)/2 = 6.642857.


Este promedio 6.642857 es la aproximación de 44 que obtenemos en este primero paso.


En el segundo paso dividimos 44 por 6.642857: 44/6.642857 = 6.623656. Y hallamos el promedio: (6.642857 + 6.623656)/2 = 6.6332565.


En el tercer paso dividimos 44 por 6.6332565: 44/6.6332565 = 6.633242. Y hallamos el promedio: (6.6332565 + 6.633242)/2 = 6.63324925.

Etcetera.

(fuente de los conceptos teóricos)

Ejercicios / problemas

Calcula las siguientes raíces cuadradas:

1a.	√25	1b.	√16	1c.	√225
2a.	√144	2b.	√196	2c.	√36
3a.	√9	3b.	√100	3c.	√0
4a.	√1	4b.	√81	4c.	√121
5a.	√4	5b.	√49	5c.	√169

 Problemas con raíces cuadradas:

1. Una caja de base cuadrada de 848 cm²; ¿cuánto mide de lado?
2. ¿Qué perímetro tiene un cuadrado de 289 m²?
   
3. Camilo ha comprado un terreno de forma aproximadamente cuadrada, mide 169 m² y quiere rodearlo con 3 vueltas de alambre. ¿Cuántos metros necesitará comprar aproximadamente?
4. Una fuente cuadrada  de 12,25 m² va a ser reformada y se le colocará un borde de azulejos de colores a su alrededor, cada azulejo es un cuadrado de 10cm de lado. Determina lo más aproximado posible la cantidad de azulejos qué se necesitarán
   

Batería de situaciones problema para el tercer nivel listas para imprimir

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Operaciones con fracciones

Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

1. Cuando tienen el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Después si podemos se simplifica.

2. Cuando tienen distinto denominador
Hay que reducir a común denominador. Para ellos se deben seguir los siguientes pasos:

1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores y tomamos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes.

2º Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador.

3º Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.

4º Si podemos simplificamos.

* Para comparar fracciones de distinto denominador , primero debemos reducirlas a común denominador, luego ya las podemos ordenar y comparar.

Ejemplos
Suma de fracciones.

Multiplicación de fracciones

1º Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador.

2º Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.

3º Después se simplifica.

Fracción de un número: Es una multiplicación de fracciones, el número tiene como denominador uno.

Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.

Fracción inversa: Se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el denominador y el numerador es el nuevo denominador. Una fracción x su inversa da la unidad.
División de fracciones

1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, el producto es el nuevo numerador.

2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo denominador.

3º Después si podemos se simplifica.

Ejemplos de multiplicación y división de fracciones

Fuente del artículo

Descargar ejercicios
Ejercicios Santillana PDF
Ejercicios con soluciones PDF
Aplicación de Anaya para operar con fracciones

Potencia: Concepto y Operaciones

La adición y la sustracción, la multiplicación, la división y la
potenciación

POTENCIAS

• Todo producto de factores iguales se puede escribir en forma de potencia. El factor
que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente.
Ejemplo: 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁴
• Casos particulares de potencias:
Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. 2¹ = 2; 3¹ = 3.
Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. 4⁰ = 1; 5⁰ = 1.
Completa el cuadro.

POTENCIAS DE BASE 10

• Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
unidades indica el exponente.
Ejemplos: 10² = 10 x 10 = 100
10³ = 10 x 10 x 10 = 1.000
10⁵ = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000
• Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más
cómoda utilizando potencias de base 10.
Ejemplos: 120.000.000 = 12 x 10.000.000 = 12 x 10⁷
200.000.000 = 2 x 100.000.000 = 2 x 10⁸

PRODUCTO (MULTIPLICAIÓN) DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la misma
base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ejemplos: 2³ x 2² x 2⁴ = 2³⁺²⁺⁴ = 2⁹
4³ x 4² x 4⁶ = 4³⁺²⁺⁶ = 4¹¹

COCIENTE (DIVISIÓN) DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y
cuyo exponente es la resta de los exponentes.
Ejemplos: 2⁶ : 2³ = 2^6-3 = 2³
4⁸ : 4² = 4^8-2 = 4⁶

POTENCIA DE UNA POTENCIA

La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es
el producto de los exponentes.
Ejemplos: (2³ )² = 2^{3 x 2} = 2⁶
(4⁴ )³ = 4^{4 x 3} = 4¹²

POTENCIA DE UN PRODUCTO

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores
elevado a dlcha potencia.
Ejemplos: (5 x 3)² = 5² x 3²
(4 x 2 x 5)³ = 4³ x 2³ x 5³

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