La Medida: Consideraciones didácticas

Una buena propuesta didáctica para tener en cuenta a la hora de enseñar Mediciones

Error absoluto y error relativo

Caracter aproximado de la medida: error absoluto y error relativo

Instrumentos de medida: Sensibilidad, precisión, incertidumbre.

La parte fundamental de todo proceso de medida es la comparación de cierta cantidad de la magnitud que deseamos medir con otra cantidad de la misma que se ha elegido como unidad patrón. En este proceso se utilizan los instrumentos de medida que previamente están calibrados en las unidades patrón utilizadas (ver Centro Español de Metrología).

Los instrumentos de medida nos permiten realizar medidas directas (un número seguido de la unidad) de una magnitud.

Un instrumento de medida se caracteriza por los siguientes factores:

• Sensibilidad. Es la variación de la magnitud a medir que es capaz de apreciar el instrumento. Mayor sensibilidad de un aparato indica que es capaz de medir variaciones más pequeñas de la magnitud medida.

• Precisión. La medida que es capaz de apreciar un instrumento. Está relacionada con la sensibilidad. A mayor sensibilidad, menores variaciones es capaz de apreciar, medidas más pequeñas nos dará el instrumento.

Un instrumento de medida debe ser capaz de medir la cifra más pequeña de su escala.

La incertidumbre está relacionada con el proceso de medida. Se trata del máximo error de la medida. Evidentemente, está relacionada con la precisión del instrumento. Por regla general se toma como incertidumbre la precisión del aparato, algunas veces aunque no sea demasiado correcto se toma la mitad de la precisión como incertidumbre.

Errores experimentales.

Tenemos dos tipos de errores en el proceso de medida:

1. Errores sistemáticos. Tienen que ver con la metodología del proceso de medida (forma de realizar la medida):

• Calibrado del aparato. Normalmente errores en la puesta a cero. En algunos casos errores de fabricación del aparato de medida que desplazan la escala. Una forma de arreglar las medidas es valorando si el error es lineal o no y descontándolo en dicho caso de la medida.

• Error de paralaje: cuando un observador mira oblicuamente un indicador (aguja, superficie de un líquido,...) y la escala del aparato. Para tratar de evitarlo o, al menos disminuirlo, se debe mirar perpendicularmente la escala de medida del aparato.

2. Errores accidentales o aleatorios. Se producen por causas difíciles de controlar: momento de iniciar una medida de tiempo, colocación de la cinta métrica, etc. Habitualmente se distribuyen estadísticamente en torno a una medida que sería la correcta. Para evitarlo se deben tomar varias medidas de la experiencia y realizar un tratamiento estadístico de los resultados. Se toma como valor o medida más cercana a la realidad la media aritmética de las medidas tomadas.

Ejemplo. Se mide la distancia entre dos puntos y se obtienen como resultados 4,56 m; 4,57 m; 4,55 m; 4,58 m; 4,55 m. Si calculamos la media aritmética (sumamos todas las medida y dividimos por el total de medidas, cinco en este caso) nos sale 4,562 m. Como el aparato no sería capaz de medir milésimas, redondeamos y nos queda 4,56 m como medida que tomamos como real.

Cálculo de errores: error absoluto, error relativo.

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

• Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

• Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

Cifras significativas.

Las cifras significativas de una medida están formas por los dígitos que se conocen no afectados por el error, más una última cifra sometida al error de la medida. Así, por ejemplo, si digo que el resultado de una medida es 3,72 m, quiero decir que serán significativas las cifras 3, 7 y 2. Que los dígitos 3 y 7 son cifras exactas y que el dígito 2 puede ser erróneo. O sea, el aparato de medida puede medir hasta las centésimas de metro (centímetros), aquí es donde está el error del aparato y de la medida. Por tanto, has de tener en cuenta:

• Que en física y en química el número de dígitos con das un resultado de una medida (directa o indirecta) es importante. No puedes poner todos los dígitos que te da la calculadora. Los resultados no pueden ser más precisos que los datos de donde se obtienen, es decir, los resultados deben tener tantas cifras significativas o menos que los datos de procedencia.

• No es lo mismo 3,70 m que 3,7 m. En el primer caso queremos decir que se ha precisado hasta los centímetros mientras que en el segundo caso sólo hasta los decímetros.

• Un aparato de medida debería tener el error en el último dígito que es capaz de medir. Así si tengo una regla cuya escala alcanza hasta los milímetros, su error debería ser de más / menos algún milímetro. Si el error lo tuviese en los centímetros no tendría sentido la escala hasta los milímetros.

Cuando el resultado de una operación matemática nos dé como resultado un número con demasiados dígitos hemos de redondearlo para que el número de cifras significativas sea coherente con los datos de procedencia.

Reglas de redondeo.

Una vez que sepas cuantas cifras significativas debes tener, el número se redondea utilizando las siguientes reglas:

• Si el primer dígito no significativo (primero de la derecha) es menor que cinco, se elimina y se mantiene el anterior que se convierte así en el último. Ejemplo si el número es 3,72; como el último dígito es 2 (menor que cinco), quedaría 3,7.

• Si el primer dígito no significativo (primero de la derecha) es igual o mayor que cinco, se añade una unidad al anterior que se convierte así en el último. Ejemplo si seguimos redondeando el resultado anterior (3,7) quedaría 4 dado que 7 es mayor que cinco, se suma una unidad al anterior que pasaría de 3 a 4.

La medida: error absoluto y error relativo

El Sistema Sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

1 h 60 min 60 s

1º 60' 60''

Operaciones en el sistema sexagesimal

Suma

1^er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2^o paso

Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

3^er paso

Se hace lo mismo para los minutos.

Resta

1^er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2^o paso

Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3^er paso

Hacemos lo mismo con los minutos.

Multiplicación por un número

1^er paso

Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número.

2^o paso

Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3^er paso ·

Se hace lo mismo para los minutos.

División por un número

Dividir 37º 48' 25'' entre 5

1^er paso

Se dividen las horas (o grados) entre el número.

2^o paso

El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

3^er paso ·

Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

4^o paso

Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

Fuente Original www.vitutor.com

También les dejo una aplicación online:

Enseñar Cartografía a través del tiempo

La cartografía del mundo a través del tiempo

Siempre que enseñaba sobre las expediciones a través del mar y los viajes de Cristobal Colón me gusta mostrarle a los alumnos distintos mapas antiguos... Un día descubrí durante una de esas actividades toda la riqueza de ese contenido por sí sólo y decidí elaborar una secuencia al respecto en vez de darlo como parte de un tema de historia.
La experiencia fue muy gratificante, los alumnos se motivaron, aprendieron muchas cosas y juntos realizamos un recorrido de construcción y recostrucción desde la evolución de la cartografía del mundo. Aprendimos sobre el tiempo, el espacio, las matemáticas, la expresión plástica, el lenguaje y tantos otros conocimientos más...
Les animo a que dediquen una unidad o una secuencia para enseñar a los alumnos sobre la hsitoria de la cartografía y la evolución en la concepción geográfica-cartográfica el mundo... Se sorprenderán y lo disfrutarán. Además lo más importante es que los alumnos le perderán el mideo a los mapas y se ubicarán mejor en ellos...
Aquí les dejo material para armar la secuencia a vuestro modo y antojo:

El mapamundi de Claudio Ptolomeo 150 aprox

"El mapamundi de Claudio Ptolomeo es un mapa que se basó en la descripción del mundo recogida en el libro Geographia de Ptolomeo, escrito hacia el año 150. A pesar de que nunca se hayan encontrado auténticos mapas de Ptolomeo, la Geographia contiene miles de referencias a varias partes del mundo antiguo con coordenadas para la mayor parte de él, lo cual permitió que los cartógrafos pudieran reconstruir la visión ptolomeica del mundo cuando sus manuscritos fueron redescubiertos alrededor del año 1300. Claudio Ptolomeo vivió en Alejandría en el siglo II de nuestra Era. Su mítica biblioteca fue una de las más influyentes en el pensamiento occidental."

Mapamundi de Al-Idrisi 1154

"El mapa del geógrafo árabe Al-Idrisi incorporó los conocimientos que los comerciantes y exploradores árabes habían acumulado sobre África y el Océano Índico a los que ya tenían (heredados de los geógrafos clásicos), creando así uno de los mapas del mundo más exactos realizados hasta entonces. Nótese que el polo norte se encuentra la parte inferior del mapa"

Mapamundi de Hereford 1300

El mapamundi de Hereford es un mapa data de aproximadamente el año 1300. El mapa está firmado por un tal Richard de Holdingham o Lafford. Dibujado en una sola hoja de pergamino de 158 por 133 centímetros. Escrito en tinta negra con añadido de rojo y oro, y azul o verde para el agua (con el Mar Rojo pintado de rojo).

Mapamundi de Juan de la Cosa 1500

"Primer mapamundi hecho por Juan de la Cosa en 1500 como resultado de los viajes que realizo a America.

Dicho mapa refleja los resultados de las expediciones realizados en América durante el siglo XV; con detalles de los viajes realizados por Colón (viajes de 1492, 1493 y 1498), Alonso de Ojeda, Vicente Yáñez Pinzón, Juan Caboto, Sebastián Caboto y diversos exploradores portugueses que recorrieron África, como Bartolomeu Dias y Vasco da Gama"

Mapamundi de Martín Maldseemuller 1507

"Mapamundi hecho por Martín Maldseemuller en 1507 y que s el primer mapamundi en que aparece escrito el nombre América, un gran honor que hicieron los cartógrafos de Saint-Dié (Lorena, Francia) a Americo Vespucio, a pesar de que sabían que las nuevas tierras habían sido "descubiertas" para el mundo europeo por Colón.

Los autores del mapa fueron Waldseemüller, Ringmann, Lud, Basin y Pelerin.
Lo extraordinario del mapa de Waldseemüller es que en el hemisferio que hay junto a Vespucio en la parte ornamental, señalado por una flecha, vemos el continente americano situado entre dos mas oceánicas y separado del Japón y de Asia."

El Planisferio de Cantino Silgo XV

"El Planisferio de Cantino, también conocido como mapa de Cantino, es el mapa más antiguo existente que muestra las expediciones y avances de los portugueses del siglo XV. Su fecha de elaboración es incierta, y el cartógrafo que lo trazó es anónimo, probablemente de origen portugués. Lo que se sabe es que el mapa fue llevado a Italia por Alberto Cantino en 1502."

"El mapa es notable por representar con gran precisión zonas del mundo hasta entonces poco exploradas por los europeos. La costa de Brasil aparece parcialmente trazada, confirmando la conjetura de Pedro Alvares Cabral, que dos años antes afirmó que Brasil no era sólo un territorio pequeño, sino quizás un continente que se extendía mucho más al sur. La información contenida en el mapa tenía entonces un gran valor, y tuvo un gran impacto en las relaciones comerciales de Italia con Portugal en la época."

"En el planisferio de Cantino aparecen varios datos notables, que han llevado a muchas conjeturas sobre el origen de la información contenida, y la información histórica sobre la exploración europea. Un ejemplo es que el mapa describe la península de Florida en 1502, cuando el descubrimiento de Florida es atribuido a Juan Ponce de León en 1513. Adicionalmente, el continente africano aparece notablemente bien trazado, y su línea costera es delineada con un detalle sorprendente para la época (con errores de menos de 45 km), lo cual es una proeza considerando que en esa época no existía en Europa ni el mundo árabe una forma precisa de medir la longitud, dato imprescindible para una cartografía adecuada."

Planisfero Castiglioni 1525

"El Planisfero Castiglioni data del 1525 y se atribuye a Diego Ribeiro, jefe de cartógrafos o "piloto maior" de la Casa de Contratación de Sevilla. Aquí se incorporaban las innovaciones derivadas de los descubrimientos geográficos a las cartas náuticas oficiales. El Planisfero Castiglioni representa ya, pues, el globo terráqueo tal y como se concebía inmediatamente después del viaje de Magallanes y que Elcano concluye en 1522."

Fuente original de la información www.celtiberos.net
Otro buen blog para obtener imágenes sobre el tema es erni´s blog

El Cilindro

Rectas y Ángulos

Otra excelente aplicación online

Hacer click sobre la imagen para iniciar la aplicación

Cuerpos de Revolución : Generatriz

Medidas de Capacidad y Unidades de Volumen

MEDIDAS DE CAPACIDAD La capacidad es una magnitud. Para medir la cantidad de líquido que cabe en un recipiente se utiliza el litro como unidad de medida. Si se tiene un cubo que mide 1 decímetro de arista, su volumen será igual a 1 decímetro cúbico y su capacidad es de 1 litro. El litro se representa por la l (letra minúscula sin punto al final). Magnitud : Capacidad Undiad: Litro Símbolo: l Existen unidades más grandes que el litro, son los múltiplos y existen otras unidades más pequeñas que el litro, son los submúltiplos. Unidades de capacidad Múltiplos Unidad Básica Submúltiplos kl hl dal l dl cl ml kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro 1 l = 1000 ml 1 l = 100 cl 1 l = 10 dl Cada unidad de capacidad es diez veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior. Para reducir de una unidad mayor a otra menor se multiplica; y, para reducir de una unidad menor a otra mayor se divide. Para averiguar el número por el que se debe multiplicar o dividir, se debe tener en cuenta que cada unidad de capacidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior.  Cada lugar que se recorre en la tabla de unidades corresponde a diez; si se recorren dos lugares sería 10 x 10, es decir 100. Si se recorren tres lugares sería 10 x 10 x 10, es decir 1000. RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA. Un litro se define como la capacidad que tiene un cubo de un decímetro cúbico de volumen. El litro no es una unidad de medida del Sistema Internacional, el metro cúbico sí lo es; por ello, se debe establecer las respectivas equivalencias. TABLA DE EQUIVALENCIAS DE CAPACIDAD Y VOLUMEN    kl         hl          dal      l     dl          cl          ml      m3 dm3 cm3 1 kl = 1 m3 1 l = 1 dm3 1 ml = 1 cm3 Esta relación entre las unidades de capacidad y de volumen es válida para medir cualquier líquido y por lo mismo se utilizan las unidades indistintamente. La capacidad, el volumen y la masa pueden relacionarse cuando se tiene agua destilada a la temperatura de 4 grados centígrados. Un litro se define como el volumen ocupado por la masa de 1 kg de agua pura, a la temperatura de 4 grados centígrados.

Fuente original de la información: www.edufuturo.com

Relación Diámetro-Longitud de la Circunferencia

Aplicación educativa para demostrar la relación diámetro - longitud de la circunferencia

Áreas y Perímetros de Figuras Básicas

FIGURA	PERÍMETRO	AREAS
	P = 4 · a	A = a 2 A = d 2 : 2
	P = 2 · (a+b)	A = a · b
	P = 4 · a	A = D . d : 2 D y d son diagonales
	P = 2 · (a + b)	A = a · h
	P = a + b + c + d	A = (a + c) : 2 · h
	P = 2 · π · r	A = π · r 2

Fuente Original de la información

Circunferencia y Círculo

La circunferencia es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de otro punto llamado centro. El término equidistar significa que están a la misma distancia. Los puntos de lacircunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

Principales elementos de la circunferencia.
Elementos de la circunferencia:
-Radio: es el segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia. El radio permite nombrar a la circunferencia y lo identificamos con la letra r.

-Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el punto centro. El diámetro equivale a la medida de dos radios.

-Cuerda: es un trazo que une dos puntos de la circunferencia.

-Arco: es una parte o subconjunto de la circunferencia, limitada por dos puntos de ella.

¿Cómo calcular la longitud de una circunferencia?
Los matemáticos griegos decidieron indicar, con una letra de su alfabeto, el número de veces que la circunferencia contiene su propio diámetro. La letra escogida fue la letra π. Del número π, se conocen muchas cifras (tiene infinitas). Como las primeras son 3,141592653589...pero normalmente consideramos como valor de π 3,14.

Fórmula: Longitud de la circunferencia = π . diámetro
 
Como el diámetro es el radio multiplicado por dos (d= 2r), se suele escribir:

Perímetro de la circunferencia = π · diámetro = π ·2 · r = 2 · π · r

El área del círculo se calcula de la siguiente forma:
Recordemos: A ( polígono regular) = semiperímetro . apotema.
Como el perímetro del círculo es 2 · π · r, el semiperímetro será π · r, y la apotema será el mismo radio del círculo; por lo tanto:

A (círculo) = (π · r) · r = π · r2 = π · r2

Vivimos rodeados de círculos

Divertido video en Inglés que canta y narra la relación entre los elementos del círculo

Área y Volumen: Prisma, Pirámide, Cono, Tronco Cono y Esfera

 Área y volumen del prisma

Área y volumen de la pirámide

Área y volumen del cilindro

Área y volumen del cono

Área y volumen del tronco de cono

 

Área y volumen de la esfera

Siempre es bueno recordar estos conceptos
Fuente original de la información